Augusti keskel ja lõpus avaldasime esimesed kaks osa Ago Rieti elamustest ja kogemustest Skype’i magistristipendiaadina Cambridge’is. Nüüd paneme sellele järjejutule punkti. Suure ja rasvase.

- - - - -

Uurimustöö

Lõputööna kirjutasin uurimuse üldistatud pooljuhuslikest graafidest („Generalised Quasirandom Graphs”, Part III Essay). Minu uurimustöö käsitleb libajuhuslikke graafe, mis on klass olulisi kombinatoorika ja graafiteooria objekte.

Juhuslikke graafe ning tõenäosusteooriat graafiteooria jaoks on edukalt uuritud alates P. Erdösi teooriale aluse panevast tööst 1947, kus ta muuhulgas andis seniteatutest palju parema alumise tõkke Ramsey arvule. Üheks revolutsiooniliseks meetodiks Erdösi töös oli tõenäosusteooria kasutamine teatud omadustega objekti olemasolu näitamiseks – meetodiks näiteks tõestada, et mingis hulgas graafides on keskmiselt vähem kui üks tsüklit graafi kohta, millest järelduks, et selles hulgas leidub tsüklivaba graaf. Paljud sellised tõestused näitavad mingi objekti olemasolu, aga seda objekti pole kellelgi õnnestunud täpselt konstrueerida ning objekti täpset kuju keegi ei tea.

Need tõestused on ilmekalt näidanud, et juhuslikke graafe tasub uurida. Neil on praktiline väärtus graafiteooria (mille praktikas rakenduseks näiteks Interneti uurimine), aga ka muude matemaatika harude, arvutiteaduse, statistilise füüsika jne jaoks.

Selles kontekstis on alates 1980ndatest A. G. Thomasoni, L. Lovaszi, V. T. Sosi, R. L. Grahami, R. M. Wilsoni jt töödes uuritud libajuhuslikke graafe. Libajuhuslikel graafidel on palju olulisi ja häid omadusi, mis on juhuslikel graafidel, aga libajuhuslikud graafid ei pruugi olla juhuslikult genereeritud. Öeldakse, et antud n-tipuline graaf (tegelikult graafijada) on libajuhuslik tihedusega p, kui iga tippude alamhulga jaoks leidub selle alamhulga tippude vahel (asümptootiliselt) ligikaudu p*(võimalike servade arv) serva. Tegelikult piisab libajuhuslikkuseks ainult, kui antud graaf sisaldab umbes õige arvu teatud konkreetseid alamgraafe: serva ja 4-tsüklit. Libajuhuslikkusel on mitmeid võrdväärseid definitsioone ning sellel on tugev seos Szemeredi lemmaga.

Viimastel aastatel on tehtud märgatavaid edusamme libajuhuslike graafide uurimisel ja Szemeredi lemma üldistamisel laiemale klassile graafidele. Minu põhiülesandeks oligi läbi töötada mõned uued artiklid ja anda edasi L. Lovaszi ja V. T. Sosi samanimelise käsikirjalise artikli sisu ka mitte-erialaspetsialistile arusaadavas vormis. Selle käigus avastasin ja parandasin käsikirjas mitu viga.

Kokkuvõte ja plaanid

Võin kursusega rahule jääda, sest uurimistöö õnnestus ning samuti õnnestusid eksamid, hoolimata nende harjumatust korraldusest. Kõige olulisem on, et sain palju uusi teadmisi ja uusi tuttavaid nii maailmakuulsate professorite kui ka tulevaste kolleegide hulgas. Samuti võimaldas kolledžis elamine tutvuda teistelt erialade üliõpilaste ja professoritega ning saada aimu nende tegevusest.

Olen saanud palju uusi teadmisi, eriti kombinatoorikast. See on väga kasulik, kui õpin edasi arvutiteadust või kombinatoorikat. Cambridge’i Ülikool on väga tuntud mitmetes matemaatikavaldkondades, üheks suurimaks uurimisrühmaks puhtas matemaatikas ongi kombinatoorika. Selles valdkonnas töötavad Cambridge’is Fieldsi preemia laureaat Tim Gowers, tuntud õpikute autor ja viljakas uurimistöö tegija Bela Bollobas, mitmete põhjapanevate tulemuste autor Ben Green, maailmas tunnustatud Imre Leader ja Andrew Thomason. Edasi tahangi õppida doktorantuuris kombinatoorikat.